Trong khi các hàm sơ cấp như $\sin x$ và $e^x$ thỏa mãn các phương trình vi phân cơ bản, nhiều hiện tượng vật lý—như sự phân bố nhiệt độ hay trạng thái lượng tử—lại bị chi phối bởi những phương trình không có lời giải dạng đóng. Trong trang này, chúng ta giới thiệu chuỗi Taylor như là cầu nối nền tảng, cho phép biểu diễn các nghiệm chưa biết dưới dạng chuỗi vô hạn.
Bằng cách giả sử nghiệm là phân tích được tại một điểm, ta biến đổi bài toán giải phương trình vi phân thành bài toán xác định một dãy các hệ số số học.
1. Nền tảng của tính phân tích
Một hàm số $f$ có khai triển chuỗi Taylor quanh điểm $x = x_0$ với bán kính hội tụ $\rho > 0$ được gọi là phân tích được tại $x = x_0$. Tính chất này là điều kiện tiên quyết để tìm nghiệm chuỗi cho các phương trình vi phân thường. Nếu các hàm hệ số trong phương trình vi phân của chúng ta là phân tích được tại $x_0$, thì nghiệm $y(x)$ cũng chắc chắn sẽ phân tích được tại điểm đó.
2. Biểu diễn chuỗi Taylor
Chuỗi $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$ được gọi là chuỗi Taylor của hàm số $f$ quanh điểm $x = x_0$. Ở đây, các hệ số được xác định bởi:
$$\displaystyle a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$
Điều này liên kết hành vi toàn cục của hàm số với đạo hàm địa phương tại một điểm duy nhất.
3. Hội tụ và tính hợp lệ
Một nghiệm chuỗi bậc hai chỉ có ý nghĩa trong phạm vi bán kính hội tụ. Ví dụ, mặc dù hàm mũ $\displaystyle e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ hội tụ với mọi $x$ ($\rho = \infty$), nhưng các chuỗi khác được suy ra từ phương trình vi phân có thể chỉ hội tụ trong một khoảng cách cụ thể từ điểm khai triển $x_0$. Khoảng cách này thường được xác định bởi các điểm kỳ dị (ở đó các hệ số của phương trình không còn xác định) của phương trình.
Xét phương trình vi phân $y' = y$ với điều kiện ban đầu $y(0)=1$. Thay vì đoán nghiệm, ta giả sử nghiệm có dạng chuỗi bậc hai:
$$y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots$$
Việc lấy đạo hàm cho ta $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}$. Thay vào phương trình $y'=y$:
$$\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$
Căn chỉnh chỉ số, ta tìm được $(n+1)a_{n+1} = a_n$, suy ra $\displaystyle a_n = \frac{a_0}{n!}$. Vì $y(0)=1$, nên $a_0=1$. Kết quả là chuỗi Taylor của $e^x$.